Exercise 1.38

文責:@naoiwata

解答

まず 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, ... の一般項 \(a_{n}\) を考える. (n は自然数とする)

\[\begin{split}\begin{cases} & n + 1 が 3 で割り切れる時 a_{n} = (n + 1) * \frac{2}{3} \\ & それ以外の時 a_{n} = 1 \end{cases}\end{split}\]

これが \(e - 2\) と等しいので, 求める解 e は \(e = a_{n} + 2\) である. これを S 式に書き換える.

(define (e k)
  (+
    (cont-franc
      (lambda (i) 1.0)
      (lambda (i)
        (if (= (remainder (+ i 1) 3) 0)
            (* (+ i 1) (/ 2 3))
            1))
       k)
    2))

実行コード

k の値を 100 として実行する.

(define (cont-franc n d k)
  (define (cont-franc-iter i)
    (if (= k i)
        (/ (n i) (d i))
        (/ (n i) (+ (d i) (cont-franc-iter (+ i 1))))))
  (cont-franc-iter 1))

(define (e k)
  (+
    (cont-franc
      (lambda (i) 1.0)
      (lambda (i)
        (if (= (remainder (+ i 1) 3) 0)
            (* (+ i 1) (/ 2 3))
            1))
       k)
    2))

(e 100)  ;; => 2.7182818284590455